Question

已知定义在正实数集上的函数f（x）=

1

2

x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同．
（1）若a=1，求b的值；
（2）用a表示b，并求b的最大值．

Answer 1

分析：（1）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同，先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用两直线重合列出等式即可求得b值；
（2）利用（1）类似的方法，利用a的表达式来表示b，然后利用导数来研究b的最大值，研究此函数的最值问题，先求出函数的极值，结合函数的单调性，最后确定出最大值与最小值即得．

解答：解：（1）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同．
f′（x）=x+2，g′（x）=

3

x

，
由题意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
∴

1 2 x-02+2x0=3lnx0+b x0+2= 3 x0

，
由x₀+2=

3

x0

得x₀=1或x₀=-3（舍去），即有b=

5

2

．
（2）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同、
f′（x）=x+2a，g′（x）=

3a2

x

，
由题意f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
即

1 2 x 2 0 +2ax0=3a2lnx0+b x0+2a= 3a2 x0

由x₀+2a=

3a2

x0

得x₀=a或x₀=-3a（舍去），
即有b=

1

2

a²+2a²-3a²lna=

5

2

a²-3a²lna．
令h（t）=

5

2

t²-3t²lnt（t＞0），则h′（t）=2t（1-3lnt）、
于是当t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e

1

3

时，h′（t）＞0；
当t（1-3lnt）＜0，即t＞e

1

3

时，h′（t）＜0．
故h（t）在（0，e

1

3

）为增函数，在（e

1

3

，+∞）为减函数，于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h（e

1

3

）=

3

2

e

2

3

，
故b的最大值为

3

2

e

2

3

．

点评：本小题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．