Question

17．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A₁，A₂，P，Q，T为椭圆异于A₁，A₂的点，若椭圆C的焦距为2$\sqrt{2}$，且椭圆过点M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{7}}{2}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若△OPQ的面积为$\sqrt{2}$，A₁R∥OP，求证：OQ∥A₂R．

Answer 1

分析 （1）由题意可知c=$\sqrt{2}$，求得焦点坐标，由两点之间的距离公式求得丨MF₁丨=$\frac{5}{2}$，丨MF₂丨=$\frac{3}{2}$，根据椭圆的定义可知丨MF₁丨+丨MF₂丨=2a及b²=a²-c²，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）将直线A₁R的方程代入椭圆方程，求得R点坐标，由斜率公式即可求得${k}_{{A}_{2}k}$，由题意可知，由证明证OQ∥A₂R，只需证${k}_{{A}_{2}k}$=k_OP，因此只需证明k_OR•k_OP=-$\frac{1}{2}$，当直线PQ的斜率不存在，根据三角形的面积公式，求得x₁•x₂=2，y₁•y₂=-1，由k_OR•k_OP=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，当斜率存在时，设直线PQ的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及三角形的面积公式求得m²=2k²+1，k_OR•k_OP=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，因此OQ∥A₂R．

解答 解：（1）由题意可知：2c=2$\sqrt{2}$，即c=$\sqrt{2}$，则椭圆的焦点坐标F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0），
则丨MF₁丨=$\frac{5}{2}$，丨MF₂丨=$\frac{3}{2}$，
由椭圆的定义可知：丨MF₁丨+丨MF₂丨=2a，解得：a=2，
由b²=a²-c²=4-2=2，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）证明：设直线A₁R的方程为y=k_OP（x+2），代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
整理得：（2${k}_{OP}^{2}$+1）x2+8${k}_{OP}^{2}$x+8${k}_{OP}^{2}$-4=0，
由一元二次方程的两个根-2和x_B，
可知：x_R=$\frac{2-4{k}_{OP}^{2}}{2{k}_{OP}^{2}+1}$，y_R=$\frac{4{k}_{OP}}{2{k}_{OP}^{2}+1}$，从而${k}_{{A}_{2}k}$=$\frac{\frac{4{k}_{OP}}{2{k}_{OP}^{2}+1}}{\frac{2-4{k}_{OP}^{2}}{2{k}_{OP}^{2}+1}-2}$=-$\frac{1}{2{k}_{OP}}$，
要证OQ∥A₂R，只需证${k}_{{A}_{2}k}$=k_OP，
即证-$\frac{1}{2{k}_{OP}}$=k_OP，即k_OR•k_OP=-$\frac{1}{2}$，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
若直线PQ的斜率不存在，由S_△OPQ=$\sqrt{2}$，可知：x₁•x₂=2，y₁•y₂=-1，
∴k_OR•k_OP=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
当直线PQ的斜率存在，设PQ的方程为y=kx+m，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
整理得：（2k²+1）x²+4kmx+2m²-4=0，
由△=8（4k²+2-m²）＞0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{2{m}^{2}-4}{2{k}^{2}+1}$，
由S_△OPQ=$\frac{1}{2}$丨m丨•丨x₁-x₂丨=$\frac{1}{2}$丨m丨•$\frac{\sqrt{8（4{k}^{2}+2-{m}^{2}）}}{2{k}^{2}+1}$=$\sqrt{2}$，
整理得：m⁴-（4k²+2）m²+（2k²+1）²=0，得m²=2k²+1，满足△＞0，
k_OR•k_OP=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$=$\frac{{m}^{2}-4{k}^{2}}{2{m}^{2}-4}$=$\frac{2{k}^{2}+1-4{k}^{2}}{2（2{k}^{2}+1）-4}$=-$\frac{1}{2}$，
综上可知：OQ∥A₂R．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式及三角形的面积公式的综合运用，考查分析法在证明题的应用，考查分类讨论思想，属于中档题．