Question

5．过正三棱锥的侧棱与底面中心作截面，已知截面是等腰三角形，若侧棱与底面所成的角为θ，则cosθ的值是$\frac{1}{3}$或$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 如图，延长BO交AC于D，则D为AC中点，∠SDC为侧面和底面所成角的平面角．截面△SBD分SD=BD，SB=BD 两种情况求解．

解答 解：延长BO交AC于D，则D为AC中点．截面为△SBD．
由正棱锥的性质，SO⊥面ABC，SD⊥AC，BD⊥AC，∠SDC为侧面和底面所成角的平面角．设底面边长BC=2．易知SB≠SD．
（1）若SD=BD，则SC=BC，正三棱锥S-ABC为正四面体．BD=$\sqrt{3}$，在△SDB中，由余弦定理得cos∠SDC=$\frac{3+3-4}{2×\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$．
（2）若SB=BD=$\sqrt{3}$，在RT△SDA中，SD=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$，
在△SDB中，由余弦定理得cos∠SDC=$\frac{3+2-3}{2×\sqrt{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$
故答案为：$\frac{1}{3}$或$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查线面角，考查分类讨论的数学思想，考查余弦定理的运用，属于中档题．