Question

2．（1）已知角α终边上一点P（-4，3），求$\frac{{cos（\frac{π}{2}+α）sin（-π-α）}}{{cos（\frac{11π}{2}-α）sin（\frac{9π}{2}+α）}}$的值．
（2）已知sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，0≤α≤π，求cos（2α-$\frac{π}{4}$）．

Answer 1

分析 （1）根据点P的坐标求得α的正切函数值，然后利用诱导公式对所求的代数式进行化简，并代入求值即可；
（2）由题意和同角三角函数基本关系可得sinα和cosα，进而由二倍角公式可得sin2α和cos2α，代入两角差的正弦公式计算可得．

解答 解：（1）．∵角α终边上一点P（-4，3），
∴$tanα=\frac{y}{x}=-\frac{3}{4}$．
∴$\frac{{cos（\frac{π}{2}+α）sin（-π-α）}}{{cos（\frac{11π}{2}-α）sin（\frac{9π}{2}+α）}}$=$\frac{-sinα•sinα}{-sinα•cosα}$=tanα=$-\frac{3}{4}$；
（2）把$sinα+cosα=\frac{1}{5}$（1），
平方得：${sin^2}α+2sinαcosα+{cos^2}α=\frac{1}{25}$，即$2sinαcosα=-\frac{24}{25}＜0$．
又0≤α≤π，
∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα-cosα＜0，
∴${（sinα-cosα）^2}=1-2sinαcosα=\frac{49}{25}$即$sinα-cosα=\frac{7}{5}（2）$，
联立（1）（2）得$sinα=\frac{4}{5}，cosα=-\frac{3}{5}$，
∴$sin2α=2sinαcosα=2×\frac{4}{5}（-\frac{3}{5}）=-\frac{24}{25}$，
∴$cos2α={cos^2}α-{sin^2}α={（-\frac{3}{5}）^2}-{（\frac{4}{5}）^2}=-\frac{7}{25}$，
∴$cos（2α-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（cos2α+sin2α）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×（\frac{-7}{25}+\frac{-24}{25}）=\frac{{-31\sqrt{2}}}{50}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系和二倍角公式，属中档题．