Question

【题目】已知为抛物线的焦点,过点的直线与抛物线相交于不同的两点,抛物线在两点处的切线分别是,且相交于点,则的小值是___.

Answer 1

【答案】6

【解析】

设直线l的方程为：y＝kx+1，A（），B（）．联立化为：x2﹣4kx﹣4＝0，利用根与系数的关系可得|AB|＝＝k（）+4．对x2＝4y两边求导可得：y′，可得切线PA的方程为：y﹣（x﹣），切线PB的方程为：y﹣（x﹣），联立解得P点坐标，可得代入|PF|，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．

设直线l的方程为：y＝kx+1，A（），B（．

联立，化为：x2﹣4kx﹣4＝0，

可得：＝4k，＝﹣4，

|AB|＝＝k（）+4＝4k2+4．

对x2＝4y两边求导可得：y′，

可得切线PA的方程为：y﹣（x﹣）

切线PB的方程为：y﹣（x﹣），

联立解得：x（）＝2k，y＝﹣1．∴P（2k，﹣1）．

∴|PF|．

∴|PF|，

令t≥2．

则|PF|tf（t），

f′（t）＝1，当t>4, f′（t）>0;t<4, f′（t）<0

可得t＝4时，函数f（t）取得极小值即最小值f（4）＝6．当且仅当k时取等号．

故答案为：6．