Question

已知函数f（x）=log_a（8-ax）（a＞0，a≠1）．
（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；
（2）若f（x）＞1在区间[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）＞2得log_a（8-ax）＞2，由于函数的底数是a故应对它进行分类，按函数是增函数与减函数解不等式得到实数x的取值范围；
（2）对于f（x）＞1在区间[1，2]上恒成立，故应确定出函数在区间上的最小值，令最小值大于1，得到关于参数的不等式，解出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）若a＞1时，8-ax＞a²得，x＜

8

a

-a．
若0＜a＜1时，0＜8-ax＜a²得

8

a

-a＜x＜

8

a

；
（2）若a＞1时，8-ax＞a在x∈[1，2]上恒成立，
即x＜

8-a

a

在x∈[1，2]上恒成立，
故

8-a

a

＞2，即a＜

8

3

，则1＜a＜

8

3

．
若0＜a＜1时，0＜8-ax＜a在x∈[1，2]上恒成立，即x＞

8-a

a

在x∈[1，2]上恒成立，
故

8-a

a

＜1，即a＞4，则a∈?．
综上所述：a∈(1，

8

3

)．

点评：本题考查对数函数的单调性与特殊点，解题的关键正确的根据对数的单调性解不等式或者转化出关于参数的不等式，两个小题求解过程中都用到了对数的单调性，当参数的取值范围对所研究的问题有不确定性时常对参数的取值范围进行讨论从而这不确定为确定，是中档题．