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已知函数为常数)
(1)当恒成立,求实数的取值范围;
(2)若函数有对称中心为A(1,0),求证:函数的切线在切点处穿过图象的充要条件是恰为函数在点A处的切线.(直线穿过曲线是指:直线与曲线有交点,且在交点左右附近曲线在直线异侧)
(1)实数的取值范围是:;(2)详见试题解析.

试题分析:(1)由已知条件,构造函数,当恒成立恒成立.利用导数讨论函数的单调性及最值,即可求得实数的取值范围;(2)由已知,函数关于A(1,0)对称,则是奇函数,由此可求出的值,进而得的解析式,利用导数的几何意义,求出函数在点A处的切线,构造函数,利用导数分别研究函数的单调性,结合直线穿过曲线定义,证明充分性和必要性.
试题解析:(1)设.令:,得
所以:当,即时,是增函数,最小值为,满足;当,即时,在区间为减函数,在区间为增函数.所以最小值,故不合题意.所以实数的取值范围是:             6分
(2)因为关于A(1,0)对称,则是奇函数,所以,所以 ,则.若为A点处的切线则其方程为:,令,所以为增函数,而所以直线穿过函数的图象.                        9分
是函数图象在的切线,则方程:,设,则
,令得:,当时:,从而处取得极大值,而,则当,所以图象在直线的同侧,所在不能在穿过函数图象,所以不合题意,同理可证也不合题意.所以(前面已证)所以即为点.所以原命题成立.                              14分
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