Question

13．已知函数f（x）=ksin（kx+$\frac{π}{6}$）（k∈N^*）的图象过点（π，1）．
（1）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求函数g（x）=$\frac{1}{2}$f²（x）-f（x+$\frac{π}{4}$）-1的值域．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的图象过点（π，1）．求出k的值，可得f（x）的解析式，即可求出f（x）的单调递增区间；
（2）g（x）=$\frac{1}{2}$f²（x）-f（x+$\frac{π}{4}$）-1，先求出g（x）的解析式，化简，即可求出x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求函数g（x）的值域．

解答 解：（1）函数f（x）=ksin（kx+$\frac{π}{6}$）（k∈N^*）
∵f（x）图象过点（π，1）．
可得：ksin（kπ+$\frac{π}{6}$）=1，
∵k∈N^*，
∴k=2时，可得2sin（2π+$\frac{π}{6}$）=2sin$\frac{π}{6}$=1成立，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得：$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ$，
∴当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，函数f（x）的单调递增区间为[0，$\frac{π}{6}$]．
（2）函数g（x）=$\frac{1}{2}$f²（x）-f（x+$\frac{π}{4}$）-1，
即g（x）=$\frac{1}{2}$[2in（2x+$\frac{π}{6}$）]²-2sin（2x$+\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）-1．
化简可得：g（x）=2sin²（2x+$\frac{π}{6}$）-2cos（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
=2（1-cos²（2x+$\frac{π}{6}$）-2cos（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
=1-2cos²（2x+$\frac{π}{6}$）-2cos（2x+$\frac{π}{6}$）
令cos（2x+$\frac{π}{6}$）=t，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]
∴cos（2x+$\frac{π}{6}$）∈[0，1]，即0≤t≤1．
那么g（x）转化为函数m（t）=1-2t²-2t．0≤t≤1．
其对称轴t=$-\frac{1}{2}$，开口向下，
函数m（t）在t∈[0，1]是单调递增，
当t=0时，取得最大值为1，
当t=1时，取得最小值为-3，
∴函数m（t）的值域为[-3，1]．
故得x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，函数g（x）=$\frac{1}{2}$f²（x）-f（x+$\frac{π}{4}$）-1的值域为[-3，1]．

点评 本题考查三角函数的化解能力和解析式的求法．换元的思想．二次函数求值域的运用．属于中档题．