Question

8．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4+5cost}\\{y=5+5sint}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（1）把C₁的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C₁与C₂交点的坐标．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，能求出C₁的极坐标方程．
（2）曲线C₂的极坐标方程化为直角坐标方程，与C₁的普通方程联立，求出C₁与C₂交点的直角坐标，由此能求出C₁与C₂交点的极坐标．

解答 解：（1）将$\left\{\begin{array}{l}{x=4+5cost}\\{y=5+5sint}\end{array}\right.$，消去参数t，化为普通方程（x-4）²+（y-5）²+25，
即C₁：x²+y²-8x-10y+16=0，
将$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入x²+y²-8x-10y+16=0，
得ρ²-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0．
∴C₁的极坐标方程为ρ²-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0．
（2）∵曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ．
∴曲线C₂的直角坐标方程为x²+y²-2y=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-8x-10y+16=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2y=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴C₁与C₂交点的极坐标为（$\sqrt{2}，\frac{π}{4}$）和（2，$\frac{π}{2}$）．

点评 本题考查曲线极坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．