Question

【题目】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1 ， M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．
（1）若DE∥平面A1MC1 ， 求 ；
（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：取BC中点N，连结MN，C1N，

∵M，N分别为AB，CB中点

∴MN∥AC∥A1C1，

∴A1，M，N，C1四点共面，

且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，

又DE∩平面BCC1B1，

且DE∥平面A1MC1，∴DE∥C1N，

∵D为CC1的中点，∴E是CN的中点，

∴

（2）解：连结B1M，

因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，

∴AA1⊥AB，即四边形ABB1A1为矩形，且AB=2AA1，

∵M是AB的中点，∴B1M⊥A1M，

又A1C1⊥平面ABB1A1，

∴A1C1⊥B1M，从而B1M⊥平面A1MC1，

∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影，

∴B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，

又B1C1∥BC，

∴直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角

设AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形

∴ ，则MC1=2， ，

∴cos = ，

∴直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值为 ．

【解析】（1）取BC中点N，连结MN，C1N，由已知得A1 ， M，N，C1四点共面，由已知条件推导出DE∥C1N，从而求出 ．（2）连结B1M，由已知条件得四边形ABB1A1为矩形，B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，由此能求出直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的性质和空间角的异面直线所成的角，需要了解一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;简记为：线面平行则线线平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能得出正确答案．