Question

已知A、B、C是椭圆上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆m的中心，且

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，

设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且，求实数t的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）t∈（－2，4）

【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将 转化为k_DN•k=-1进行求解.

(1)根据椭圆的性质和向量的数量积为零得到a,b的值，得到椭圆的方程。

(2)设出直线与椭圆联立方程组，然后结合根与系数的关系，和向量的等式得到参数的关系式，进而利用判别式得到范围。

解（1）∵过（0，0）

则

∴∠OCA=90°，  即  又∵

将C点坐标代入得 

解得  c²=8，b²=4

∴椭圆m： 

（2）由条件D（0，－2）  ∵M（0，t）

1°当k=0时，显然－2<t<2 

2°当k≠0时，设

   消y得

由△>0  可得     ①

设

则    

∴  

由 

∴   ②

∴t>1  将①代入②得   1<t<4

∴t的范围是（1，4）

综上t∈（－2，4）