Question

【题目】已知函数f（x）＝ax2﹣bx+lnx，（a，b∈R）．

（1）若a＝1，b＝3，求函数f（x）的单调增区间；

（2）若b＝0时，不等式f（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；

（3）当a＝1，b＞时，记函数f（x）的导函数f（x）的两个零点是x1和x2（x1＜x2），求证：f（x1）﹣f（x2）＞﹣3ln2．

Answer 1

【答案】（1）f（x）在（0，），（1，+∞）递增；（2）a≤﹣；（3）见解析

【解析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）问题转化为a≤﹣在区间[1，+∞）恒成立，令h（x）＝﹣，根据函数的单调性求出a的范围即可；

（3）由题意得x1，x2（x1＜x2）是方程2x2﹣bx+1＝0的两个根，记g（x）＝2x2﹣bx+1，根据函数的单调性证明即可．

（1）由题意得：x＞0，a＝1，b＝3时，f（x）＝x2﹣3x+lnx，

，令f（x）＞0，解得：0＜x＜或x＞1，

故f（x）在（0，），（1，+∞）递增；

（2）b＝0时，f（x）＝ax2+lnx，不等式f（x）≤0在[1，+∞）恒成立，

即a≤﹣在区间[1，+∞）恒成立，令h（x）＝﹣，则，

令h（x）＞0，解得：x＞，令h（x）＜0，解得：1＜x＜，

故f（x）在（1，）递减，在（，+∞）递增，故h（x）min＝h（）＝﹣，

故a≤﹣；

（3）a＝1时，f（x）＝x2﹣bx+lnx，，（x＞0），

由题意得x1，x2（x1＜x2）是方程2x2﹣bx+1＝0的两个根，记g（x）＝2x2﹣bx+1，则

，g（2）＝9﹣2b＜0，

∴x1∈（，），x2∈（2，+∞），且f（x）在[x1，x2]递减，

故f（x1）﹣f（x2）＞f（）﹣f（2）＝﹣3ln2，

∵b＞，∴f（x1）﹣f（x2）＞﹣3ln2．