Question

【题目】已知抛物线的焦点到准线距离为.

（1）若点，且点在抛物线上，求的最小值；

（2）若过点的直线与圆相切，且与抛物线有两个不同交点，求的面积.

Answer 1

【答案】(1)2(2)

【解析】

（1）由抛物线图像的几何特征可知，设点到抛物线准线的距离分别为，因为点在抛物线上，所以到准线距离与到焦点距离相等，故仅当垂直于准线时有最小值.

（2）应用设而不求法，设直线的方程为：，将与联立，结合韦达定理与弦长公式以及点到直线的距离公式求出三角形面积.

解：（1）根据题意可知

所以抛物线方程为

则抛物线焦点为，准线为；

记点到抛物线准线的距离分别为，

故，等号成立当且仅当PE垂直于准线，

故的最小值为

（2）设 ，

由题意知，直线斜率存在，设直线的方程为：

将与联立得，

由韦达定理得，

由到直线的距离为得：，

又

点到直线的距离为

所以