Question

【题目】已知函数，其中是自然对数的底数.

若，求函数的极值；

若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围。

Answer 1

【答案】（I）函数有极小值，无极大值. （II）.

【解析】

（I）先求导数，再求导函数零点，最后根据导数符号确定极值，（II）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，最后根据单调性确定最小值，进而确定实数的取值范围.

由题意得，，则，

令，解得，令，解得，

则函数在上单调递减，在上单调递增，

故当时，函数有极小值，无极大值.

（II）令，

则.

令，则，

易得在上单调递增，，

则在上单调递增，.

当，即时，在上恒成立，

则在上单调递增，，满足题意；

当时，，当时，，

又在上单调递增，

，使得，当时，，

函数在上单调递减，，不满足题意.

综上所述，实数的取值范围是.