Question

已知函数f(x)=3sin(

x

2

+

π

6

)+3．
（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
（2）指出f（x）的周期、振幅、初相、对称轴；
（3）说明此函数图象可由y=sinx在[0，2π]上的图象经怎样的变换得到．

Answer 1

分析：（1）分别令

x

2

+

π

6

取0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，并求出对应的（x，d（x））点，描点后即可得到函数在一个周期内的图象
（2）根据函数的解析式中A=3，ω=

1

2

，φ=

π

6

，然后根据正弦型函数的性质，即可求出f（x）的周期、振幅、初相、对称轴；
（3）根据正弦型函数的平移变换，周期变换及振幅变换的法则，根据函数的解析式，易得到函数图象可由y=sinx在[0，2π]上的图象经怎样的变换得到的．

解答：解：（1）令

x

2

+

π

6

取0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，列表如下：

x 2 + π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- π 3	2π 3	5π 3	8π 3	11π 3
f(x)=3sin( x 2 + π 6 )+3	3	6	3	0	3

在一个周期内的闭区间上的图象如下图所示：

（2）∵函数f(x)=3sin(

x

2

+

π

6

)+3中，A=3，B=3，ω=

1

2

，φ=

π

6

．
∴函数f（x）的周期T=4π，振幅为3，初相为

π

6

，对称轴直线x=

2π

3

+2kπ，k∈Z
（3）此函数图象可由y=sinx在[0，2π]上的图象：
①向左平移

π

6

个单位，得到y=sin（x+

π

6

）的图象；
②再保持纵坐标不变，把横坐标扩大为原来的2倍得到y=sin(

x

2

+

π

6

)的图象；
③再保持横坐标不变，把纵坐标扩大为原来的3倍得到y=3sin(

x

2

+

π

6

)的图象；
④再向上科移3个单位，得到f(x)=3sin(

x

2

+

π

6

)+3的图象．

点评：本题考查的知识点是五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中正弦型函数的图象的画法，性质是三角函数的重点内容之一，一定要熟练掌握．