Question

设函数，若在点处的切线斜率为．
（Ⅰ）用表示；
（Ⅱ）设，若对定义域内的恒成立，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）对任意的，证明：．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析.

解析试题分析：(Ⅰ) 利用导数的几何意义“曲线在某点处的导数值等于该点处切线的斜率”来求；(Ⅱ)利用导数研究单调性，进而求最值.
试题解析：（Ⅰ），依题意有：； 
（Ⅱ）恒成立．
（ⅰ）恒成立，即．  
方法一：恒成立，则．
当时，
,
则，，单调递增，
当，， 单调递减，
则，符合题意，即恒成立．
所以，实数的取值范围为．    
方法二：，
①当时，，，，单调递减，当，， 单调递增，则，不符题意；
②当时，
，
（1）若，，，，单调递减；当，， 单调递增，则，不符题意；
（2）若，
若，，，，单调递减，
这时，不符题意；
若，，，，单调递减，这时，不符题意；
若，，，，单调递增；当，， 单调递减，则，符合题意；
综上，得恒成立，实数的取值范围为．
方法三：易证

∵，∴，
当，即时，，即恒成立；
当