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已知函数 (为实常数)  
(1)当时,求函数上的最大值及相应的值;
(2)当时,讨论方程根的个数
(3)若,且对任意的,都有,求实数a的取值范围

(1)当;(2)当时,方程有2个相异的根;当 或时,方程有1个根;当时,方程有0个根;(3) 

解析试题分析:(1) 利用导数求解极值点,然后确定单调性,分析最值;(2)把方程的根转化为函数图像的交点,利用导数研究单调性,进而求最值,然后分析交点的情形即根的情形;(3)通过对函数单调性的分析,可得导数在区间上大于零恒成立问题,然后转化为最值求解
试题解析:(1)
时, 当时,

,当时,取等号        4分
(2)易知,故
方程根的个数等价于时,方程根的个数。
=
时,,函数递减,
时,,函数递增。
,作出与直线的图像,由图像知:
时,即时,方程有2个相异的根;
 或时,方程有1个根;
时,方程有0个根;               10分
(3)当时,时是增函数,又函数是减函数,不妨设,则等价于
,故原题等价于函数时是减函数,
恒成立,即时恒成立。
时是减函数              16分
(其他解法酌情给分)
考点:导数,函数的单调性,函数的最值

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