Question

18．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是冷BC的中点，点F在冷CC₁上，且CF=2FC₁，P是侧面四边形BCC₁B₁内一点（含边界）．若A₁P∥平面AEF，则线段
A₁P长度的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{{\sqrt{29}}}{5}，\frac{{\sqrt{5}}}{2}}]$
• B． $[{\frac{{\sqrt{29}}}{5}，\frac{{\sqrt{13}}}{3}}]$
• C． $[{\frac{{3\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{13}}}{3}}]$
• D． $[{\frac{{3\sqrt{2}}}{4}，\frac{{\sqrt{5}}}{2}}]$

Answer 1

分析 取棱B₁C₁的中点N，在BB₁上取点M，使B₁M=2BM，连接MN，易证平面A₁MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M处时A₁P最长，A₁P⊥MN时最短，通过解直角三角形即可求得．

解答 解：如下图所示：
取棱B₁C₁的中点N，在BB₁上取点M，使B₁M=2BM，连接MN，连接BC₁，
∵N、E为所在棱的中点，B₁M=2BM，CF=2FC₁
∴四边形MNFE为平行四边形，∴MN∥EF
∴A₁N∥AE，又A₁N∩MN=N，∴平面A₁MN∥平面AEF，
∵P是侧面BCC₁B₁内一点，且A₁P∥平面AEF，
则P必在线段MN上，AM=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，AN=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，MN=$\frac{5}{6}$'
在△A₁MN中，由余弦定理求得cos∠MA_1N=$\frac{6}{\sqrt{65}}$，⇒sin∠MA_1N=$\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{65}}$．
由面积相等得MN•h=A₁M•A₁Nsin∠MA₁N⇒h=$\frac{\sqrt{29}}{5}$，
则线段A₁P长度的取值范围是[$\frac{\sqrt{29}}{5}，\frac{\sqrt{13}}{3}$]
故选：B

点评 本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置．