Question

已知f（x）=ax-

b

x

-2lnx，且f（1）=0．
（1）若f（x）在x=2处有极值，求a，b的值；
（2）求a的范围，使f（x）在定义域内恒有极值点；
（3）若a=1，求曲线y=f（x）上任一点P到直线x-y+1=0的最小距离．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,作图题,导数的综合应用

分析：由题意，f（1）=a-b=0，则a=b；f（x）=ax-

a

x

-2lnx；
（1）求导f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，令f′（2）=0求得；
（2）f（x）=ax-

a

x

-2lnx的定义域为（0，+∞）；化f（x）在定义域内恒有极值点为导数有正负值，从而求得；
（3）f（x）=x-

1

x

-2lnx；令f′（x）=

x2-2x+1

x2

=1，从而确定切点，求切点到直线的距离及可．

解答： 解：由题意，f（1）=a-b=0，则a=b；
f（x）=ax-

a

x

-2lnx；
（1）由题意，f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

；
故f′（2）=0可化为4a-4+a=0；
解得，a=

4

5

；
故a=b=

4

5

；
（2）f（x）=ax-

a

x

-2lnx的定义域为（0，+∞）；
若a≤0，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立；
故f（x）在定义域内没有极值点；
若a＞0，则设m（x）=ax²-2x+a，
其对称轴为x=

1

a

＞0；
故只需使m（

1

a

）=

1

a

-2

1

a

+a＜0，
解得，0＜a＜1；
（3）f（x）=x-

1

x

-2lnx；
令f′（x）=

x2-2x+1

x2

=1，
解得x=

1

2

；f（

1

2

）=

1

2

-2+2ln2=2ln2-

3

2

；
故曲线y=f（x）上任一点P到直线x-y+1=0的最小距离为

| 1 2 -2ln2+ 3 2 +1|

2

=

(3-2ln2) 2

2

．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．