Question

已知F₁、F₂分别为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线左支上一点，若

|PF1|

|PF2|

=

1

8

，则双曲线的离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P点的横坐标为x，根据8|PF₁|=|PF₂|，P在双曲线左支上一点（x≤-a），利用双曲线的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围．

解答： 解：设P点的横坐标为x，
∵8|PF₁|=|PF₂|，P在双曲线左支上一点（x≤-a），
根据双曲线的第二定义，可得e（

a2

c

-x）=8e（-x-

a2

c

）
∴8a+a=7x（-e），
∵x≤-a，∴-a•（-7e）≤9a，
∴e≤

9

7

，
∵e＞1，∴1＜e≤

9

7

故答案为：（1，

9

7

]．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．