Question

已知定义在区间[0，2]上的两个函数f（x）和g（x），其中f（x）=x²-2ax+4，g（x）=

2x

2x+1

．
（1）求函数y=g（x）的值域；
（2）求函数y=f（x）的最小值m（a）；
（3）若对任意x₁、x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的值域,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先根据导数判断函数g（x）的单调性，再根据定义域即可求出值域
（2）先将函数f（x）的解析式进行配方，然后讨论对称轴与区间[0，2]的位置关系，可求出函数y=f（x）的最小值m（a）；
（3）根据函数的单调性求出函数f（x）的最小值和g（x）的最大值，然后使f（x₂）_min＞g（x₁）_max，建立关系式，解之即可求出a的范围．

解答： 解：（1）g（x）=

2x

2x+1

=1-

1

2x+1

，
∴g′（x）=

2

(2x+1)2

＞0恒成立，
∴函数g（x）为增函数，
∴g（0）=0，g（2）=

4

5

∴g（0）≤g（x）≤g（2），
∴函数y=g（x）的值域为[0，

4

5

]；
（2）由f（x）=x²-2ax+4=（x-a）²+4-a²，
得m(a)=

4-a2，1≤a＜2 8-4a，a≥2

（3）由（1）知函数y=g（x）的值域为[0，

4

5

]
由题设，得f（x）_min＞g（x）_max，故

-1≤a＜2 4-a2＞ 4 5

或

a≥2 8-4a＞ 4 5

解得-1≤a＜

4 5

5

．
故a的取值范围为[-1，

4 5

5

）

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数单调性的判定，属于中档题．