Question

若a，b，c∈（0，+∞），证明：

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

2

a+b

+

2

b+c

+

2

c+a

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：推理和证明

分析：首弦利用作差法，证得

1

2

（

1

a

+

1

b

）≥

2

a+b

，同理可证

1

2

（

1

c

+

1

b

）≥

2

b+c

，

1

2

（

1

a

+

1

c

）≥

2

c+a

；利用综合法，同向的三式相加即可证得结论．

解答： 证明：∵a，b∈（0，+∞），
∴

1

2

（

1

a

+

1

b

）-

2

a+b

=

a+b

2ab

-

2

a+b

=

(a+b)2-4ab

2ab(a+b)

=

(a-b)2

2ab(a+b)

≥0，
∴

1

2

（

1

a

+

1

b

）≥

2

a+b

；①
同理可证，

1

2

（

1

c

+

1

b

）≥

2

b+c

；②

1

2

（

1

a

+

1

c

）≥

2

c+a

；③
①+②+③得：

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

2

a+b

+

2

b+c

+

2

c+a

（证毕）．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查作差法与综合法的应用，选准突破口，证得

1

2

（

1

a

+

1

b

）≥

2

a+b

是关键，考查逻辑思维与推理证明的能力，属于中档题．