Question

已知函数f（x）=e^x-kx（x∈R）
（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若k＞0且对任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（Ⅲ）设函数F（x）=f（x）+f（-x），求证：F（1）•F（2）…F（n）＞（e^n+1）+2） 

n

2

（n∈N^*）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）先确定函数的定义域，然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0，f′（x）＜0
（Ⅱ）f（|x|）是偶函数，只需研究f（x）＞0对任意x≥0成立即可，即当x≥0时f（x）_min＞0
（Ⅲ）观察结论，要证F（1）F（2）…F（n）＞（eⁿ⁺¹+2） 

n

2

（n∈N^*）．观察F（1）F（n）=eⁿ⁺¹+e^-1+n+e^1-n+e^-1-n＞eⁿ⁺¹+2
F（2）F（n-1）=eⁿ⁺¹+e^-2+n+e^2-n+e^-1-n＞eⁿ⁺¹+2规律，问题得以解决．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=e^x-e，令f′（x）=0，解得x=1，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，+∞）单调递增；
当x∈（-∞，1）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，1）单调递减；…（4分）
（Ⅱ）因为f（|x|）为偶函数，∴f（|x|）＞0恒成立等价于f（x）＞0对x≥0恒成立，
当x≥0时，f′（x）=e^x-k，令f′（x）=0，解得x=lnk
当lnk＞0，即k＞1时，f（x）在（0，lnk）递减，在（lnk，+∞）单调递增，
∴f（x）_min=f（lnk）=k-klnk＞0，解得1＜k＜e，
∴实数k的取值范围1＜k＜e；                 …（9分）
（Ⅲ）函数F（x）=f（x）+f（-x）=e^x-e^-x，F（1）=e+e^-1，F（n）=eⁿ+e^-n，
F（1）F（n）=eⁿ⁺¹+e^-1+n+e^1-n+e^-1-n＞eⁿ⁺¹+2
F（2）F（n-1）=eⁿ⁺¹+e^-3+n+e^3-n+e^-1-n＞eⁿ⁺¹+2
…
F（n）F（1）＞eⁿ⁺¹+2
以上各式相乘得
[F（1）•F（2）…F（n）]²＞（eⁿ⁺¹+2）ⁿ
∴F（1）•F（2）…F（n）＞（eⁿ⁺¹+2） 

n

2

（n∈N^*）．             …（14分）

点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间、不等式恒成立以及不打算的证明方法等知识，考查运用导数研究函数性质的方法、分类讨论、化归等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．