Question

若函数y=f（x）（x∈R⁺）同时满足：①对一切正数x都有f（3x）=3f（x），②f（x）=1-|x-2|（1≤x≤3），则f（100）=则方程f（x）=f（100）的解的最小值为

46

．

Answer 1

分析：f（100）=3f（

100

3

）=3f（3×

100

9

）=9f（

100

9

）=…=81f（

100

81

），由此猜想f（x）=3nf(

x

3n

)，由

100

81

∈[1，3]，知81f(

100

81

)=81•[1-|

100

81

-2|]=19，f（100）=19，由此能求出方程f（x）=f（100）解的最小值．

解答：解：f（100）=3f（

100

3

）=3f（3×

100

9

）=9f（

100

9

）=…=81f（

100

81

），
由此猜想f（x）=3nf(

x

3n

)，
∵

100

81

∈[1，3]，∴81f(

100

81

)=81•[1-|

100

81

-2|]=19，
∴f（100）=19，
由f（x）=19，知3nf(

x

3n

)=19，
当1≤

x

3n

≤3，即3ⁿ≤x≤3ⁿ⁺¹时，3nf(

x

3n

)=19可化为3n[1-|

x

3n

-2|]=19，
即3ⁿ-|2•3ⁿ-x|=19，x=19+3ⁿ，或x=3ⁿ⁺¹-19，
又3ⁿ≤x≤3ⁿ⁺¹，则n≥3，
当n=3时，x=19+27=46，

46

27

∈[1，3]，或x=62，

62

27

∈[1，3]，
故方程f（x）=f（100）解的最小值为46．

点评：本题考查归纳推理的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意抽象函数的性质及其应用．