Question

如图X15－3所示，已知圆C₁：x²＋(y－1)²＝4和抛物线C₂：y＝x²－1，过坐标原点O的直线与C₂相交于点A，B，定点M的坐标为(0，－1)，直线MA，MB分别与C₁相交于点D，E.

(1)求证：MA⊥MB；
(2)记△MAB，△MDE的面积分别为S₁，S₂，若＝λ，求λ的取值范围．

Answer 1

（1）见解析（2）

(1)证明：设直线AB的方程为y＝kx，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
则?x²－kx－1＝0，所以x₁＋x₂＝k，x₁x₂＝－1.
又·＝(x₁，y₁＋1)·(x₂，y₂＋1)＝(k²＋1)x₁x₂＋k(x₁＋x₂)＋1＝－k²－1＋k²＋1＝0，
∴MA⊥MB.
(2)设直线MA的方程为y＝k₁x－1，MB的方程为y＝k₂x－1，k₁k₂＝－1.
解得或
∴A(k₁，－1)，同理可得B(k₂，－1)，
∴S₁＝|MA||MB|＝|k₁k₂|.
又解得或
∴D，同理可得E.
∴S₂＝|MD||ME|＝.
＝λ＝＝≥.故λ的取值范围是.