Question

已知圆C与两圆x²+(y+4)²=1,x²+(y-2)²=1外切,圆C的圆心轨迹方程为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程.
(2)求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.
(3)在(2)的条件下,试探究轨迹Q上是否存在点B(x₁,y₁),使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于.若存在,请求出点B的坐标;若不存在,请说明理由.

Answer 1

(1) y=-1  (2) x²=4y   (3) 存在 点B的坐标为(2,1)或(-2,1)，理由见解析

(1)两圆的半径都为1,两圆的圆心分别为C₁(0,-4),C₂(0,2),
由题意得|CC₁|=|CC₂|,可知圆心C的轨迹是线段C₁C₂的垂直平分线,C₁C₂的中点为(0,-1),直线C₁C₂的斜率不存在,故圆心C的轨迹是线段C₁C₂的垂直平分线,其方程为y=-1,即圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.
(2)因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,以点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,=1,即p=2,所以,轨迹Q的方程是x²=4y.
(3)假设存在点B满足条件.由(2)得y=x²,y'=x,所以过点B的切线的斜率为k=x₁,
切线方程为y-y₁=x₁(x-x₁).
令x=0得y=-+y₁,
令y=0得x=-+x₁.
因为点B在x²=4y上,所以y₁=,
故y=-,x=x₁,
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S=|x||y|=|x₁||-|=||,
所以||=,解得|x₁|=2,
所以x₁=±2.
当x₁=2时,y₁=1,当x₁=-2时,y₁=1,所以点B的坐标为(2,1)或(-2,1).