Question

【题目】已知函数

（1）若曲线在点处的切线l过点，求实数的值；

（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）对函数进行求导，根据导数的几何意义，结合直线点斜式方程、点在直线上进行求解即可；

（2）对函数进行求导，分类讨论求出函数的单调性，结合零点的定义、零点存在原理，通过构造新函数，对新函数进行求导，根据新函数的单调性进行求解即可.

解：（1）由，有，，

切线的方程为，代入点有，解得，故实数的值为－1.

（2）函数的定义域为，由，

.

①当时，，此时函数单调递增，最多只有一个零点；

②当时，令，由可知函数单调递增，又由，，可得存在，使得，有，可知函数的减区间为，增区间为.

若函数有两个零点，必有

，得，

又由，

令，有，令可得，故函数的增区间为，减区间为，有，

当时，即时，，可得此时函数有两个零点.

由上知，若函数有两个零点，则实数的取值范围为.