Question

【题目】已知圆M的方程为x2+y2-2x-2y-6=0，以坐标原点O为圆心的圆O与圆M相切．

（1）求圆O的方程；

（2）圆O与x轴交于E，F两点，圆O内的动点D使得DE，DO，DF成等比数列，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）x2+y2=2 （2）[1，0）

【解析】

（1）化简圆M的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y﹣6＝0，为标准方程，求出圆心和半径，判定圆心O在圆M内部，因而内切，用|MN|＝R﹣r，求圆O的方程；

（2）根据圆O与x轴交于E、F两点，圆内的动点D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，列出关系，再求的取值范围；

（1）圆M的方程可整理为：（x1）2+（y-1）2=8，

故圆心M（1，1），半径R=2．

圆O的圆心为O（0，0），

因为|MO|=＜2，所以点O在圆M内，

故圆O只能内切于圆M．

设其半径为r．因为圆O内切于圆M，

所以有：|MO|=|R-r|，即=|2r|，解得r=或r=3（舍去）；

所以圆O的方程为x2+y2=2．

（2）由题意可知：E（，0），F（，0）．

设D（x，y），由|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，

得|DO|2=|DE|×|DF|，

即：×=x2+y2，

整理得：x2y2=1．

=（，y）（，y）=x2+y22=2y21，

由于点D在圆N内，

故有，由此得y2＜，

∴的取值范围是[1，0）．