Question

18．（1）若x＞0，y＞0，且$\frac{2}{x}$+$\frac{8}{y}$=1，求xy的最小值．
（2）已知x＞0，y＞0，满足x+2y=1，求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式的性质即可得出．
（2）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵x＞0，y＞0，且$\frac{2}{x}$+$\frac{8}{y}$=1
∴：1=$\frac{2}{x}$+$\frac{8}{y}$$≥2\sqrt{\frac{16}{xy}}$=$\frac{8}{\sqrt{xy}}$，可得：$\sqrt{xy}≥8$，当且仅当8x=2y，即x=4，y=16时取等号．
那么：xy≥64
故：xy的最小值是64：．
（2）∵x＞0，y＞0，x+2y=1，
那么：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）（x+2y）=1+$\frac{x}{y}+2+\frac{2y}{x}$≥3+2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{2y}{x}}$=3+$2\sqrt{2}$．当且仅当x=$\sqrt{2}$y，即x=$\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$，y=$\frac{1}{2+\sqrt{2}}$时取等号．
故：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值是：3+$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．