Question

已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，函数f（x）=x²-2x．
（1）试求函数f（x）的解析式；
（2）试求函数f（x）在x∈[0，3]上的值域．

Answer 1

分析：（1）令x＜0，则-x＞0，由x＞0时，f（x）=x²-2x，可求得f（-x），而f（x）为定义在R上的奇函数，从而可求得x＜0时的解析式，最后用分段函数表示函数f（x）的解析式即可．
（2）x∈[0，3]时，f（x）=x²-2x，由对称轴方程为x=1，抛物线开口向上，能求出f（x）=x²-2x在[0，3]上的值域．

解答：解：（1）令x＜0，则-x＞0，
∵x＞0时，f（x）=x²-2x，
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，
又f（x）为定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x）=-x²-2x．
当x=0时，f（x）=x²-2x=0，
∴f（x）=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

．
（2）x∈[0，3]时，f（x）=x²-2x，
∵对称轴方程为x=1，抛物线开口向上，
∴f（x）=x²-2x在[0，3]上的最小值和最大值分别为：
f（x）_min=f（1）=1-2=-1，
f（x）_max=f（3）=9-6=3．
∴函数f（x）在x∈[0，3]上的值域为[-1，3]．

点评：本题考查奇函数的解析式的求法，考查函数的值域的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．