Question

【题目】（1）已知函数，函数的导函数为.

①求函数的定义域；

②求函数的零点个数.

（2）给出如下定义：如果是曲线和曲线的公共点，并且曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则称曲线与曲线在点处相切，点叫曲线和曲线的一个切点.试判断曲线：与曲线：是否在某点处相切？若是，求出所有切点的坐标；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）①定义域②在定义域上的零点个数

(2)见解析

【解析】

(1)①由得，即可得定义域; ②先由题意得 ，再构造函数，讨论或，研究函数F(x)单调性，即可得出其零点个数;

(2)由（1）中②知在定义域上有且只有0一个零点,则方程在定义域上有且只有1这一个解，从而可得公共点为，分别求函数f(x)、g（x）在处的导数，即可验证该点为公共切点.

（1）①令得 即定义域

②由题意得

其中是增函数

若 则有下表

		0
	-	0	+
	-	0	+
	↘	极小值	↗

∴在定义域上有且只有0一个零点

若

∵在上是增函数

且，

∴存在唯一的，使得，且有下表

	-	0	+
	-	0	+
	↘	极小值	↗

∴ （i）

令 则

		0
	-	0	+
	↘	极小值	↗

∴，

∴，，，

∴ （ii）

∴由（i）上方表格的最后一行及（）（）得在定义域上有且只有两个零点

综上，在定义域上的零点个数

（2）由（1）中②知在定义域上有且只有0一个零点

∴方程在定义域上有且只有1这一个解

又∵

∴曲线与曲线有且只有一个公共点

又∵，

∴，

∴曲线与曲线在处的切线方程均为即

∴曲线与曲线仅在一个点处相切，这个点的坐标为