Question

【题目】如图，正四面体ABCD中，异面直线AB与CD所成的角为_______，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为_______．

Answer 1

【答案】90°

【解析】

取CD中点E，连接AE、BE，作AF⊥BE于点F，

空1：根据等腰三角形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行求解即可；

空2：根据线面垂直的性质和判定定理，结合线面角定义、锐角三角函数定义进行求解即可.

取CD中点E，连接AE、BE，作AF⊥BE于点F.

空1：因为，所以CD⊥AE，CD⊥BE，

AEBE＝E，平面ABE，∴CD⊥平面ABE，平面ABE，

∴CD⊥AB，∴异面直线AB与CD所成的角为90°；

空2：∵CD⊥平面ABE，平面ABE，∴CD⊥AF，又AF⊥BE，

平面BCD，∴AF⊥平面BCD，

∴∠ABF是直线AB与底面BCD所成角，

正四面体ABCD中，因为AF⊥平面BCD，所以点F是三角形BCD的中心，

设正四面体的棱长为a，所以

则．

故答案为：90°；