【题目】近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示.
题号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 |
| 0.100 | |
第2组 |
| ① | |
第3组 |
| 20 | ② |
第4组 |
| 20 | 0.200 |
第5组 |
| 10 | 0.100 |
第6组 |
| 100 | 1.00 |
（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成如下的频率分布直方图；
（2）组委会决定在5名（其中第3组2名，第4组2名，第5组1名）选手中随机抽取2名选手接受
考官进行面试，求第4组至少有1名选手被考官面试的概率.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）第1组的频数为人
，所以①处应填的数为
，从而第2组的频数为
，因此②处应填的数为
，即可得到答案。
（2）设第3组的2名选手为
，第4组的2名选手为
，第5组的1名选手为
，利用列举法得到基本事件的总数，再利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解。
（1）第1组的频数为人，所以①处应填的数为
，从而第2组的频数为
，因此②处应填的数为
.
频率分布直方图如图所示，
（2）设第3组的2名选手为，第4组的2名选手为，第5组的1名选手为，则从这5名选手中抽取2名选手的所有情况为
，
，
，共10种，
其中第4组的2名选手中至少有1名选手人选的有
，共7种，所以第4组至少有1名选手被考官
面试的概率为.
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【题目】（1）已知函数
，函数
的导函数为
.
①求函数
的定义域；
②求函数的零点个数.
（2）给出如下定义：如果
是曲线
和曲线
的公共点，并且曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则称曲线与曲线在点处相切，点叫曲线和曲线的一个切点.试判断曲线：
与曲线：
是否在某点处相切？若是，求出所有切点的坐标；若不是，请说明理由.
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【题目】如图，四棱柱
中，底面
是矩形，且
， 
， 
，若
为
的中点，且
．
（Ⅰ）求证： 
平面
；
（Ⅱ）线段
上是否存在一点
，使得二面角
的大小为
？若存在，求出
的长；若不存在，说明理由．
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【题目】设椭圆
：
的离心率为
，椭圆上一点
到左右两个焦点
、
的距离之和是4.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过的直线与椭圆交于
、
两点，且两点与左右顶点不重合，若
，求四边形
面积的最大值.
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【题目】一批用于手电筒的电池，每节电池的寿命服从正态分布
（寿命单位：小时）.考虑到生产成本，电池使用寿命在
内是合格产品.
（1）求一节电池是合格产品的概率（结果四舍五入，保留一位小数）；
（2）根据（1）中的数据结果，若质检部门检查4节电池，记抽查电池合格的数量为
，求随机变量的分布列、数学期望及方差.
附：若随机变量服从正态分布
，则
，
，
.
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【题目】已知曲线C的参数方程为
（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线
、
相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且的倾斜角为锐角
.
（1）求曲线C和射线的极坐标方程；
（2）求△OAB的面积的最小值，并求此时的值．
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【题目】某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①
；
②
；
③
；
④
；
⑤
；
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
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