Question

【题目】已知p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0； q：实数x满足2＜x≤3．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：p：由原不等式得，（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a＜x＜3a；

当a=1时，得到1＜x＜3；

q：实数x满足2＜x≤3；

若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是：（2，3）

（2）解：p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；

∴ ，解得1≤a≤2；

∴实数a的取值范围是[1，2]

【解析】（1）先通过解一元二次不等式求出p下的x的取值范围：a＜x＜3a，a=1时，所以p：1＜x＜3．根据p∧q为真得p，q都真，所以 ，所以解该不等式组即得x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，则： ，所以解该不等式组即得a的取值范围．
【考点精析】掌握复合命题的真假是解答本题的根本，需要知道“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．