【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC⊥PB,△BCD为等边三角形,PA=BD= ,AB=AD,E为PC的中点.
(1)求证:BC⊥AB;
(2)求AB的长;
(3)求平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值.
【答案】
(1)证明:连结AC,
∵PA⊥底面ABCD,BC平面ABCD,∴PA⊥BC,
又∵BC⊥PB,PA∩PB=P,∴BC⊥平面PAB,
∵AB平面PAB,
∴AB⊥BC
(2)解:由(1)知AB⊥BC,
∵△BCD为等边三角形,∴∠ABD=30°,
又AB=AD, ,
解得AB=1
(3)解:分别以BC,BA所在直线为x,y轴,过B且平行PA的直线为z轴,建立空间直角坐标系,
,
,
,
.
由题意可知平面PAB的法向量 ,
设平面BDE的法向量为 ,
则 即
,
取x=3,得 ,
,
∴平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值为 .
【解析】(1)连结AC,推导出PA⊥BC,BC⊥PB,从而BC⊥平面PAB,由此能证明AB⊥BC.(2)推导出AB⊥BC,∠ABD=30°,由此能求出AB.(3)分别以BC,BA所在直线为x,y轴,过B且平行PA的直线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的性质的相关知识,掌握垂直于同一个平面的两条直线平行.
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【题目】已知R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax﹣a﹣x+2(a>0,且a≠1),若g(2)=a,则f(2)的值为(
A.
B.2
C.
D.a2
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【题目】在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,如图建立空间直角坐标系.
(1)求证:B1C∥平面ODC1;
(2)求异面直线B1C与OD夹角的余弦值;
(3)求直线B1C到平面ODC1的距离.
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【题目】已知函数f(x)=loga(x2﹣3ax)对任意的x1 , x2∈[ ,+∞),x1≠x2时都满足
<0,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(0, ]
C.(0, )
D.( ,
]
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【题目】已知p:实数x满足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0; q:实数x满足2<x≤3.
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
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【题目】在四棱锥中,底面
是矩形,
平面
,
是等腰三角形,
,
是
的一个三等分点(靠近点
),
的延长线与
的延长线交于点
,连接
.
(1)求证: ;
(2)求证:在线段上可以分别找到两点
,
,使得直线
平面
,并分别求出此时
的值.
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【题目】已知圆C的圆心在直线x﹣2y=0上.
(1)若圆C与y轴的正半轴相切,且该圆截x轴所得弦的长为2 ,求圆C的标准方程;
(2)在(1)的条件下,直线l:y=﹣2x+b与圆C交于两点A,B,若以AB为直径的圆过坐标原点O,求实数b的值;
(3)已知点N(0,3),圆C的半径为3,且圆心C在第一象限,若圆C上存在点M,使MN=2MO(O为坐标原点),求圆心C的纵坐标的取值范围.
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【题目】已知直线l过点P(2,1)
(1)点A(﹣1,3)和点B(3,1)到直线l的距离相等,求直线l的方程;
(2)若直线l与x正半轴、y正半轴分别交于A,B两点,且△ABO的面积为4,求直线l的方程.
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