Question

【题目】在四棱锥中，底面是矩形， 平面， 是等腰三角形， ， 是的一个三等分点（靠近点），的延长线与的延长线交于点，连接．

（1）求证： ；

（2）求证：在线段上可以分别找到两点， ，使得直线平面，并分别求出此时的值．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)证明见解析， ， .

【解析】试题分析：（1）由题意易证平面，又因为平面，所以.

（2）取线段的中点，连接，作，垂足为，连接，则此时满足直线平面. 在中，由勾股定理，得，所以.在中，由，得所以.

试题解析：

（1）证明：因为平面， 平面，所以.

因为底面是矩形，所以

又因为，所以平面.

又因为平面，所以.

（2）如图所示，取线段的中点，连接，

作，垂足为，连接，则此时满足直线平面.

由（1）得， 平面，又平面，

所以

因为平面，所以

又因为是等腰三角形，所以.

又因为，所以平面.

又因为， ，所以平面.

易知，下面求解：

因为， ，所以可设，则， .

在等腰直角三角形中，由勾股定理，得.

因为平面，又平面，

所以

的平面图如图所示：

在中，由勾股定理，得，

所以.

在中，由，得所以.

综上，在线段上可以分别找到两点， ，使得直线平面，

并且此时，