Question

19．现将甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图：
（1）若对甲、乙两人各再模拟测试6次，试估算6次测试成绩中甲、乙两人的成绩位于（80，100）内的次数；
（2）现对甲、乙两人作最后一次模拟测试，求甲、乙两人的成绩至少有一人位于（80，100）内的概率；
（3）若每次模拟测试甲、乙两人同时考，且一次模拟测试中两人的成绩至少有一人位于（80，100），该次为合格，求再模拟十二次合格次数X的数学期望．
（注：本题中的频率视为概率）

Answer 1

分析 （1）由茎叶图分别求出甲的模拟测试成绩位于（80，100）内的频率和乙的模拟测试成绩位于（80，100）内的频率，由此能估算6次测试成绩中甲、乙两人的成绩位于（80，100）内的次数．
（2）由茎叶图得一次模拟测试中，甲的成绩位于（80，100）内的概率为$\frac{1}{2}$，乙的成绩位于（80，100）内的概率为$\frac{2}{3}$，由此利用对立事件概率计算公式能求出对甲、乙两人作最后一次模拟测试，甲、乙两人的成绩至少有一人位于（80，100）内的概率．
（3）由已知得X～B（12，$\frac{5}{6}$），由此能求出再模拟十二次合格次数X的数学期望．

解答 解：（1）由茎叶图得甲的模拟测试成绩位于（80，100）内的频率为：$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
乙的模拟测试成绩位于（80，100）内的频率为：$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，
∴若对甲、乙两人各再模拟测试6次，
则估算6次测试成绩中甲、乙两人的成绩位于（80，100）内的次数分别为3次和4次．
（2）由茎叶图得一次模拟测试中，甲的成绩位于（80，100）内的概率为$\frac{1}{2}$，
乙的成绩位于（80，100）内的概率为$\frac{2}{3}$，
∴对甲、乙两人作最后一次模拟测试，
甲、乙两人的成绩至少有一人位于（80，100）内的概率：
p=1-（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{2}{3}$）=$\frac{5}{6}$．
（3）∵每次模拟测试甲、乙两人同时考，且一次模拟测试中两人的成绩至少有一人位于（80，100），该次为合格，
∴每次合格的概率p=$\frac{5}{6}$，
再模拟十二次合格次数X～B（12，$\frac{5}{6}$），
∴再模拟十二次合格次数X的数学期望EX=12×$\frac{5}{6}$=10．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意茎叶图的性质的合理运用．