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    四棱锥中，平面,，底面为直角梯形分别是的中点

    （Ⅰ）求证：// 平面；

    （Ⅱ）求截面与底面所成二面角的大小；

    （Ⅲ）求点到平面的距离．

    解 ：（1）//     ………1分

      ………2分

    又平面，平面, ∴//平面  …………4分

    （2）以为原点，以分别为建立空间直角坐标系，

    设平面的的法向量为，又

    则有：

    令，则，              …………6分

    又为平面的法向量，                 

    ∴，

    又截面与底面所成二面角为锐二面角，

    ∴截面与底面所成二面角的大小为       …………8分

    （3）∵，

    ∴所求的距离 ………12分

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    科目：高中数学 来源：2015届河北衡水中学高二上第四次调研考试理数学卷（解析版） 题型：解答题

    如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，.

    （1）求证：平面PAC；

    （2）若，求与所成角的余弦值；

    （3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.

     

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    科目：高中数学 来源：2015届河南省高一上学期期末考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

    (本题13分)

    如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.分别是的中点.

    (1) 求证：；

    (2) 求证：.

     

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    科目：高中数学 来源：2014届四川省高二10月月考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，.

    （1）求证：平面PAC；

    （2）若，求PB与AC所成角的余弦值；

    （3）若PA=，求证：平面PBC⊥平面PDC

     

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年广东省陆丰市高三第四次月考文科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，点O是对角线与的交点,是的中点,.

    (1) 求证：平面;

    (2) 平面平面;

    (3) 当四棱锥的体积等于时,求的长.

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年山东省高三下学期模拟预测理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    在四棱锥中，平面，底面为矩形，.

    （Ⅰ）当时，求证：；

    （Ⅱ）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.

    【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时，底面ABCD为正方形，

    又因为,………………2分

    又，得证。

    第二问，建立空间直角坐标系，则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

    设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》

    要使，只要

    所以，即………6分

    由此可知时，存在点Q使得

    当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得

    由此知道a=2,  设平面POQ的法向量为

    ,所以    平面PAD的法向量

    则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

    因此二面角A-PD-Q的余弦值为

    解：(Ⅰ)当时，底面ABCD为正方形，

    又因为,又………………3分

    (Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直，分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系，如图所示，

    则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

    设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

    所以，即………6分

    由此可知时，存在点Q使得

    当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得由此知道a=2,

    设平面POQ的法向量为

    ,所以    平面PAD的法向量

    则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

    因此二面角A-PD-Q的余弦值为

     

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