Question

（2011•惠州模拟）数列bn+1=

1

2

bn+

1

4

，且b1=

7

2

，Tn为{bn}的前n项和．
（1）求证：数列{bn-

1

2

}是等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（2）如果{b_n}对任意n∈N*，不等式

12k

(12+n-2Tn)

≥2n-7恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对数列递推式进行变形，即可证明数列{bn-

1

2

}是等比数列，从而可求其通项，进而可求{b_n}的通项公式；
（2）先求出数列的和，再利用分离参数法，证明数列的单调性，即可求得实数k的取值范围．

解答：（1）证明：对任意n∈N^*，都有bn+1=

1

2

bn+

1

4

，所以bn+1-

1

2

=

1

2

(bn-

1

2

)…（1分）
则数列{bn-

1

2

}成等比数列，首项为b1-

1

2

=3，公比为

1

2

…（2分）
所以bn-

1

2

=3×(

1

2

)n-1，
∴bn=3×(

1

2

)n-1+

1

2

…（4分）
（2）解：因为bn=3×(

1

2

)n-1+

1

2

所以Tn=3×

1- 1 2n

1- 1 2

+

n

2

=6(1-

1

2n

)+

n

2

…（6分）
因为不等式

12k

(12+n-2Tn)

≥2n-7，化简得k≥

2n-7

2n

对任意n∈N^*恒成立…（7分）
设cn=

2n-7

2n

，则cn+1-cn=

9-2n

2n+1

…（9分）
当n≥5，c_n+1≤c_n，{c_n}为单调递减数列，当1≤n＜5，c_n+1＞c_n，{c_n}为单调递增数列
∵c4=

1

16

，c5=

3

32

，∴c₄＜c₅，∴n=5时，c_n取得最大值

3

32

…（11分）
所以，要使k≥

2n-7

2n

对任意n∈N^*恒成立，k≥

3

32

…（12分）

点评：本题考查数列的递推式，考查构造法证明等比数列，考查恒成立问题，解题的关键是分离常数，确定数列的最值．