Question

已知函数f（x）=x+

m

x

，且f（1）=2．
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

分析：（1）根据f（1）=2，求得 m=1．再根据根据它的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=-f（x），
可得函数y=f（x）为奇函数．
（2）设1＜x₁＜x₂，计算求得f（x₂）-f（x₁）＞0，可得f（x）在（1，+∞）上的单调递增．

解答：解：（1）∵f(x)=x+

m

x

，且f（1）=2，∴1+m=2，解得 m=1．
函数y=f（x）为奇函数，
证：∵f(x)=x+

1

x

，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称．
又f(-x)=(-x)+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f(x)，所以y=f（x）为奇函数．
（2）f（x）在（1，+∞）上的单调递增．
证明：设1＜x₁＜x₂，则f(x2)-f(x1)=x2+

1

x2

-(x1+

1

x1

)=(x2-x1)(1-

1

x1x2

)．
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，1-

1

x1x2

＞0，
故f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在（1，+∞）上的单调递增．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明，函数的单调性的判断和证明，属于中档题．