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     已知四棱锥SABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,侧面SAB是等边三角形,侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形,E为CD的中点,M为SB的中点.

    (1) 求证:CM∥平面SAE;

    (2) 求证:SE⊥平面SAB;

    (3) 求三棱锥SAED的体积.


     (1) 取SA的中点N,连接MN,

    因为M为SB的中点,N为SA的中点,所以MN∥AB,且MN=AB.

    又E为CD的中点,所以CE∥AB,且CE=AB.

    所以MN∥CE,且MN=CE,

    所以四边形CENM为平行四边形,

    所以CM∥EN.

    又EN平面SAE,CM⊄平面SAE,所以CM∥平面SAE.

    (2) 因为侧面SCD是直角三角形,∠CSD为直角,E为CD的中点,所以SE=1.

    又SA=AB=2,AE=,所以SA2+SE2=AE2,

    则ES⊥SA.

    同理可证ES⊥SB.

    因为SA∩SB=S,所以SE⊥平面SAB.

    (3) ===×××4×1=.


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