Question

【题目】设函数，，其中.

（1）若，，求函数在处的切线方程；

（2）讨论的单调区间.

Answer 1

【答案】（1）；（2）a＞0时，f（x）的增区间为（﹣∞，），（，+∞），减区间为（，）；a≤0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无减区间.

【解析】

（1）当a＝1，b＝2时，可得f（x），f′（x），而切线斜率k＝f′（1），易求f（1），从而可得切点坐标，由点斜式可得切线方程；

（2）求出f（x）的导数，讨论a≤0时f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；

（1）当a＝1，b＝2时，f（x）＝x3﹣x-2，f′（x）＝3x2﹣1，

则切线斜率k＝f′（1）＝2，

f（1）＝1﹣1-2＝-2，则切点为（1，-2），

∴函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y+2＝2（x﹣1），即y＝2x-4；

（2）若f（x）＝x3﹣ax﹣b，则f′（x）＝3x2﹣a，

分两种情况讨论：

①当a≤0时，有f′（x）＝3x2﹣a≥0恒成立，

此时f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无减区间.

②当a＞0时，令f′（x）＝3x2﹣a＝0，解得x或x，

当x或x时，f′（x）＝3x2﹣a＞0，f（x）为增函数，

当x时，f′（x）＝3x2﹣a＜0，f（x）为减函数，

故f（x）的增区间为（﹣∞，），（，+∞），减区间为（，）；