【题目】在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B、C三点满足 =
+
.
(1)求证:A、B、C三点共线;
(2)已知A(1,cosx),B(1+cosx,cosx)(0≤x≤ ),f(x)=
﹣(2m+
)|
|的最小值为﹣
,求实数m的值.
【答案】
(1)解:由已知得 ;
即 ;
∴ ,又∵
有公共点A;
∴A,B,C三点共线;
(2)解: ;
∴ ;
∵ ;
∴
=
=(cosx﹣m)2+1﹣m2;
∵ ,∴cosx∈[0,1];
①当m<0,当且仅当cosx=0时,f(x)取得最小值为1(舍去)
②当0≤m≤1时,当且仅当cosx=m时,f(x)取得最小值为1﹣m2, (舍去)
③当m>1时,当且仅当cosx=1时,f(x)取得最小值2﹣2m,2﹣2m=- ;
∴
综上m= .
【解析】(1)根据向量减法的几何意义,在 两边同减去
,进行向量的数乘运算便可得出
,这样便可得出三点A,B,C共线;(2)根据上面容易求出点C的坐标,并求出向量
的坐标,从而得出f(x)=(cosx﹣m)2+1﹣m2 , 这样根据配方的式子,讨论m的取值:m<0,0≤m≤1,m>1,这样即可求出m的值.
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【题目】已知两个无穷数列和
的前
项和分别为
,
,
,
,对任意的
,都有
.
(1)求数列的通项公式;
(2)若 为等差数列,对任意的
,都有
.证明:
;
(3)若 为等比数列,
,
,求满足
的
值.
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【题目】如图,已知四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD是边长为2的正方形,M、N分别为PB、PC的中点.
(1)证明:MN∥平面PAD;
(2)若PB与平面ABCD所成的角为45°,求三棱锥C﹣BDN的体积V.
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【题目】已知抛物线的方程为:
,过点
的一条直线与抛物线
交于
两点,若抛物线在
两点的切线交于点
.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设直线的斜率存在,取为
,取直线
的斜率为
,请验证
是否为定值?若是,计算出该值;若不是,请说明理由.
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【题目】甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示:
甲 | 茎 | 乙 |
5 7 | 1 | 6 8 |
8 8 2 | 2 | 3 6 7 |
设s1 , s2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差, 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数,则有( )
A. ,s1<s2
B. ,s1>s2
C. ,s1>s2
D. ,s1=s2
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【题目】已知椭圆x2+4y2=4,直线l:y=x+m
(1)若l与椭圆有一个公共点,求m的值;
(2)若l与椭圆相交于P、Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.
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【题目】某中学高三年级有学生500人,其中男生300人,女生200人。为了研究学生的数学成绩是否与性别有关,采用分层抽样的方法,从中抽取了100名学生,统计了他们期中考试的数学分数,然后按照性别分为男、女两组,再将两组的分数分成5组: 分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图。
(I)从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人,求两人恰为一男一女的概率;
(II)若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”?
附表:
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【题目】已知数列{an}与{bn},若a1=3且对任意正整数n满足an+1﹣an=2,数列{bn}的前n项和Sn=n2+an .
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列{ }的前n项和Tn .
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【题目】将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( )
A.y=sin(2x﹣ )
B.y=sin(2x﹣ )
C.y=sin( x﹣
)
D.y=sin( x﹣
)
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