Question

15．已知f（x）=x²-3ax+2a²．
（1）若实数a=1时，求不等式f（x）≤0的解集；
（2）求不等式f（x）＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次不等式的解法计算即可．
（2）对系数a进行讨论，根据一元二次不等式的解法求f（x）＜0的解集．

解答 解：（1）当a=1时，依题意得x²-3x+2≤0
因式分解为：（x-2）（x-1）≤0，
解得：x≥1或x≤2．
∴1≤x≤2．
不等式的解集为{x|1≤x≤2}．
（2）依题意得x²-3ax+2a²＜0
∴（x-a）（x-2a）＜0…（5分）
对应方程（x-a）（x-2a）=0
得x₁=a，x₂=2a
当a=0时，x∈∅．
当a＞0时，a＜2a，∴a＜x＜2a；
当a＜0时，a＞2a，∴2a＜x＜a；
综上所述，当a=0时，原不等式的解集为∅；
当a＞0时，原不等式的解集为{x|a＜x＜2a}；
当a＜0时，原不等式的解集为{x|2a＜x＜a}；

点评 本题考查了一元二次不等式的解法，对一元二次方程系数的讨论思想，属于中档题．