Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB的中点．
（1）求证：AM∥平面PCD；
（2）设点N是线段CD上的一动点，当点N在何处时，直线MN与平面PAB所成的角最大？并求出最大角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{AM}$的坐标，再求出平面平面PCD的一个法向量$\overrightarrow{n}$，由$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}$=0且AM?面PCD内得答案；
（2）利用空间向量求出使直线MN与平面PAB所成的角最大时N的位置，然后再求出平面PBN的一个法向量，而$\overrightarrow{AP}$是平面PAB的一个法向量，由两个法向量所成角的余弦值求得结论．

解答 （1）证明：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），P（0，0，2），M（0，1，1）$\overrightarrow{AM}=（0，1，1），\overrightarrow{PD}=（1，0，-2），\overrightarrow{CD}=（-1，-2，0）$
设平面PCD的法向量是$\overrightarrow n=（x，y，z）$$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{PD}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}}\right.得\left\{{\begin{array}{l}{x-2z=0}\\{-x-2y=0}\end{array}}\right.令x=2得\overrightarrow n=（2，-1，1）$…（3分）$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow n=0\overrightarrow{得AM}⊥\overrightarrow n$…（4分）
又$\begin{array}{l}AM?平面PCD\\∴AM∥平面PCD\end{array}$…（5分）
（2）解：由点N是线段CD上的一点，可设$\begin{array}{l}\overrightarrow{DN}=λ\overrightarrow{DC}=（λ，2λ，0），λ∈[0，1]\\ \overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}=（1+λ，2λ，0）\\ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=（1+λ，2λ-1，-1）\end{array}$…（7分）
平面PAB的一个法向量为$\overrightarrow{AD}=（1，0，0）$
设MN与平面PAB成θ角，则$sinθ=|cos\left?{\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{AB}}\right＞|=|\frac{1+λ}{{\sqrt{5{λ^2}-2λ+3}}}|$…（8分）
令1+λ=t∈[1，2]$sinθ=\frac{t}{{\sqrt{5{{（t-1）}^2}-2（t-1）+3}}}=\frac{1}{{\sqrt{5-\frac{12}{t}+\frac{10}{t^2}}}}=\frac{1}{{\sqrt{10{{（\frac{1}{t}-\frac{3}{5}）}^2}+\frac{7}{5}}}}，t∈[1，2]$
当$\frac{1}{t}=\frac{3}{5}即t=\frac{5}{3}时{（sinθ）_{max}}=\frac{{\sqrt{35}}}{7}，此时λ=\frac{2}{3}$…（11分）
∴当点N是线段CD上靠近点C的三等分点时，MN与平面PAB所成角最大，最大角的正弦值为$\frac{\sqrt{35}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查了运用空间向量求证线面的垂直关系，考查了利用空间向量求解二面角的平面角，关键是建立正确的空间直角坐标系，是中档题．