Question

13．如图，圆O：x²+y²=8内有-点P（-1，2），AB为过P且倾斜角为135°的弦．
（1）求AB的长；
（2）若圆C与圆O内切又与弦AB切于点P，求圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）依题意直线AB的斜率为-1，直线AB的方程，根据圆心0（0，0）到直线AB的距离，由弦长公式求得AB的长．
（2）设圆C的圆心为（a，a+3），则$\sqrt{{a}^{2}+（a+3）^{2}}$=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{（a+1）^{2}+（a+3-2）^{2}}$，求出a，即可求圆C的方程．

解答 解：（1）依题意直线AB的斜率为-1，直线AB的方程为：y-2=-（x+1），
圆心0（0，0）到直线AB的距离为d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则|AB|=2$\sqrt{8-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{30}$，∴AB的长为$\sqrt{30}$．
（2）过P与直线AB垂直的直线方程为y-2=x+1，即y=x+3，
设圆C的圆心为（a，a+3），则$\sqrt{{a}^{2}+（a+3）^{2}}$=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{（a+1）^{2}+（a+3-2）^{2}}$，
∴a=-$\frac{3}{2}$，∴圆心为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），半径为$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴圆C的方程为（x+$\frac{3}{2}$）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．