Question

已知数列{a_n}，{b_n}，且满足a_n+1-a_n=b_n（n=1，2，3，…）．
（1）若a₁=0，b_n=2n，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n+1+b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．记c_n=a_6n-1（n≥1），求证：数列{c_n}为常数列；
（3）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且a₁=1，b₁=1，b₂=2．求数列{a_n}的前36项和S₃₆．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用“累加求和”和等差数列的前n项和公式即可求出；
（2）通过已知条件先探究数列{b_n}是一个以6为周期的循环数列，进而即可证明数列{c_n}为常数列．
（3）由条件探索出：数列{a_6n+i}均为以7为公差的等差数列，由此能求出数列{a_n}的前36项和S₃₆．

解答： 解：（1）当n≥2时，有
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1
=2×1+2×2+…+2×（n-1）
=2×

(n-1)n

2

=n²-n，又当n=1时此式也成立．
∴数列{a_n}的通项为a_n=n²-n．
（2）∵b_n+1+b_n-1=b_n（n≥2），
∴对任意的n∈N^*有b_n+6=b_n+5-b_n+4=-b_n+3=b_n+1-b_n+2=b_n，
∴数列{b_n}是一个以6为周期的循环数列
又∵b₁=1，b₂=2，
∴b₃=b₂-b₁=1，b₄=b₃-b₂=-1，b₅=b₄-b₃=-2，b₆=b₅-b₄=-1．
∴c_n+1-c_n=a_6n+5-a_6n-1=a_6n+5-a_6n+4+a_6n+4-a_6n+3+…+a_6n-a_6n-1
=b_6n+4+b_6n+3+b_6n+2+b_6n+1+b_6n+b_6n-1=b₄+b₃+b₂+b₁+b₆+b₅
=-1+1+2+1-1+-2=0（n≥1），
所以数列{c_n}为常数列．
（3）∵b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2，
∴b₃=2，b₄=1，b₅=

1

2

，b₆=

1

2

，
且对任意的n∈N^*，有b_n+6=

bn+5

bn+4

=

1

bn+3

=

bn+1

bn+2

=b_n，
设c_n=a_6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}，
∴c_n+1-c_n=a_6n+6+i-a_6n+i=b_6n+i+b_6n+i+1+b_6n+i+2+b_6n+i+3+b_6n+i+4+b_6n+i+5
=b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆
=1+2+2+1+

1

2

+

1

2

=7（n≥0）．
所以数列{a_6n+i}均为以7为公差的等差数列．
∵a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=6，a₅=7，a₆=

15

2

，
∴数列{a_n}的前36项和
S₃₆=6（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆）+6（7+14+21+28+35）
=165+630=795．

点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式、“累加求和”、探究数列{b_n}是一个以6为周期的循环数列，本题较好的考查了学生的探究能力和计算能力，本题有一点的难度．