Question

已知函数f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）．
（Ⅰ）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；
（Ⅱ）命题P：函数f（x）在区间[（a+1）²，+∞） 上是增函数； 命题Q：函数g（x）是减函数．如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，比较f（1）和

1

6

的大小．

Answer 1

分析：（I）根据函数奇偶性的定义，解关于g（x）、h（x）的方程组，整理即可得到g（x）、h（x）的表达式；
（II）分别由二次函数和一次函数的单调性，建立关于a的不等式组，解之找出命题P、Q都是真命题的a的范围，结合P、Q有且仅有一个是真命题加以求解，即可得到实数a的取值范围；
（III）根据（II）化简得f（1）=（a+2）+lg|a+2|，结合函数的单调性和a＞-

3

2

，可得f（1）≥

1

2

+lg

1

2

，再利用对数的运算性质将不等式进行放缩，可得f（1）＞

1

6

成立．

解答：解：（Ⅰ）设f（x）=g（x）+h（x）----①，其中g（x）是奇函数，h（x）是偶函数，
则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=-g（x）+h（x），----②
联解①、②，可得g（x）=

1

2

[f（x）-f（-x）]=（a+1）x
h（x）=

1

2

[f（x）+f（-x）]=x²+lg|a+2|…（4分）
（Ⅱ）∵函数f（x）=（x+

a+1

2

）²-

1

4

（a+1）²+lg|a+2|在区间[（a+1）²，+∞）上是增函数．
∴（a+1）²≥-

a+1

2

，解之得a≥-1或a≤-

3

2

且a≠-2．…（6分）
又∵函数g（x）=（a+1）x是减函数，得a+1＜0，
∴a＜-1且a≠-2．…（8分）
因此，命题P为真的条件是：a≥-1或a≤-

3

2

且a≠-2；命题Q为真的条件是a＜-1且a≠-2．
∴命题P、Q有且仅有一个是真命题时，a＞-

3

2

…（10分）
（Ⅲ）f（1）=1²+（a+1）•1+lg|a+2|，即f（1）=（a+2）+lg|a+2|，
∵a＞-

3

2

，∴f（1）=a+2+lg（a+2），
∵t=a+2+lg（a+2），t是关于a的单调增函数
∴f（1）≥-

3

2

+2+lg（-

3

2

+2）=

1

2

+lg

1

2

＞

1

2

+lg

1

3 10

=

1

2

-

1

3

=

1

6

即f（1）＞

1

6

成立，故f（1）要大于

1

6

．…（14分）

点评：本题给出含有对数作为系数的二次函数，讨论函数的奇偶性并依此比较两个数的大小，着重考查了二次函数的图象与性质、不等式的基本性质和命题真假的判断等知识点，属于中档题．