Question

已知g(x)＝－x²－3，f(x)是二次函数，当x∈[－1,2]时，f(x)的最小值为1，且f(x)＋g(x)为奇函数，求函数f(x)的表达式．

Answer 1

解　设f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)，

则f(x)＋g(x)＝(a－1)x²＋bx＋c－3，

又f(x)＋g(x)为奇函数，∴a＝1，c＝3.

∴f(x)＝x²＋bx＋3，对称轴x＝－.

当－≥2，即b≤－4时，f(x)在[－1,2]上为减函数，

∴f(x)的最小值为f(2)＝4＋2b＋3＝1.

∴b＝－3.∴此时无解．

当－1＜－＜2，即－4＜b＜2时，

f(x)_min＝f＝3－＝1，∴b＝±2.

∴b＝－2，此时f(x)＝x²－2x＋3，

当－≤－1，即b≥2时，f(x)在[－1,2]上为增函数，

∴f(x)的最小值为f(－1)＝4－b＝1.

∴b＝3.∴f(x)＝x²＋3x＋3.

综上所述，f(x)＝x²－2x＋3，或f(x)＝x²＋3x＋3.