Question

12．已知函数f（x）=|x+a|+|x+$\frac{1}{a}$|（a＞0）（a＜0）
（1）当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集
（2）证明：$f（m）+f（-\frac{1}{m}）≥4$．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，解不等式，即可得出结论；
（2）f（m）+f（-$\frac{1}{m}$）=|m+a|+|m+$\frac{1}{a}$|+|-$\frac{1}{m}$+a|+|-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{a}$|，利用三角不等式，及基本不等式即可证明结论．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=|x+2|+|x+$\frac{1}{2}$|，原不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＜-2}\\{-x-2-x-\frac{1}{2}＞3}\end{array}\right.$
或$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤-\frac{1}{2}}\\{x+2-x-\frac{1}{2}＞3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{x+2+x+\frac{1}{2}＞3}\end{array}\right.$
解得：x＜-$\frac{11}{4}$或x∈∅或$x＞\frac{1}{4}$，所以不等式的解集为{x|x＜-$\frac{11}{4}$或$x＞\frac{1}{4}\}$…（5分）
（2）f（m）+f（-$\frac{1}{m}$）=|m+a|+|m+$\frac{1}{a}$|+|-$\frac{1}{m}$+a|+|-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{a}$|
=$|m+a|+|-\frac{1}{m}+a|+|m+\frac{1}{a}|+|-\frac{1}{m}+\frac{1}{a}|≥2|m+\frac{1}{m}|=2（|m|+|\frac{1}{m}|）≥4$…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查三角不等式，及基本不等式，属于中档题．